角平分线定理的应用——定比分点坐标公式解析

在解决几何问题中涉及到角平分线定理时，我们还经常会用到定比分点坐标公式。定比分点坐标公式是一种利用角平分线定理求解几何问题的方法，它可以帮助我们求出一条线段上按照一定比例划分出的分点坐标。

角平分线定理简介

角平分线定理是解决几何问题中经常应用到的基本定理之一。该定理指出，在平面内给定一条线段AB和一点C，且AC与CB连线的角度相等，则线段AB的角平分线CD将把线段AB按照相等的比例分成两部分，即AB：AD=BC:CD。

下面我们通过一个图示的例子来帮助理解角平分线定理。

定比分点坐标公式的推导

现在我们来看一下如何利用角平分线定理推导出定比分点坐标公式。

下面我们对上图进行标注，其中AB为线段，C为分割点，D为分割点所在位置。

根据角平分线定理，可以得出以下公式：

AB : AD = BC : CD

又因为在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，即AC2 = AD2 + CD2。将上式代入可得：

AB2 : AC2 = BC : CD

通过对上式做进一步变化，可以得到分割点D的坐标公式：

x_D = [ x_B(a - c) + x_C(a - b) ] / (a - b + a - c)

y_D = [ y_B(a - c) + y_C(a - b) ] / (a - b + a - c)

其中a表示线段AC的长度，b表示线段AB的长度，c表示线段BC的长度。x_B、x_C为线段BC的两个端点的横坐标，y_B、y_C为线段BC的两个端点的纵坐标。

定比分点坐标公式的应用

我们可以通过使用定比分点坐标公式来解决一些几何问题。下面我们来通过一道例题来进一步理解定比分点坐标公式。

例题：以线段AB的中点为起点，做线段AB的平行线。该平行线上距起点M3的距离为5，距离终点N的距离为15。已知线段AB的两端点坐标分别为A(1,3)和B(4,6)，求该平行线的方程。

解题思路：

首先，求出线段AB的长度、斜率和中点坐标，即：

a = √[(x_B - x_A)2 + (y_B - y_A)2] = √(32 + 32) = 3√2

k = [ y_B - y_A ] / [ x_B - x_A ] = 1

M₁( (x_A + x_B) / 2, (y_A + y_B) / 2 ) = M₁(2.5,4.5)

其次，根据题意求出距离起点M₃和终点N的距离比：

M₃M₁ : MN = 5 : 15 = 1 : 3

然后，根据定比分点坐标公式求出分割点M₃和N的坐标：

x_M3 = [ x_B(a - c) + x_A(a - b) ] / (a - b + a - c) = (4(3√2 - 3) + 1(3√2 - 6)) / (3√2 - 6 + 3√2 - 3) = 6 - 3√2

y_M3 = [ y_B(a - c) + y_A(a - b) ] / (a - b + a - c) = (6(3√2 - 3) + 3(3√2 - 6)) / (3√2 - 6 + 3√2 - 3) = 3√2 - 3

N的坐标为( x_A + x_B - x_M3, y_A + y_B - y_M3 ) = (2 + 3√2, 7 - 3√2)

最后，根据平行线的斜率和截距可得平行线的方程：

y = kx + b

由于平行线过点M₃，所以可得：

b = y_M3 - kx_M3 = 3√2 - 3 - (1)(6 - 3√2) = -3√2 - 3

因此，该平行线的方程为y = x - 3√2 - 3。

总结

定比分点坐标公式是一种通过角平分线定理求解几何问题的方法。在使用该公式时，需要先求出线段的长度、斜率和中点坐标，然后根据题目条件求出分割点的坐标比例，并代入公式进行计算。最终可以通过求得分割点坐标来解决几何问题。